第92章 朝聞道，2次！（5K）
報告已經結束,周圍人已經開始收拾東西離開,但是張老師不想放過這次機會。
張老師快步走過通道,走上講台,目光緊緊盯著黑板上的邊界映射公式,拋出了一個問題:
“請等一下,漆老師,請問你在證明一維Laurent像猜想時,思路是通過一維環麵映射的雅可比矩陣處處非退化帶來的局部微分同胚,並借由拉回機製限製代數曲線在有限仿射區域內的邊界奇點。”
“但這套論證其實有一個挺強的限製,它隻對那些牛頓多邊形為嚴格凸且不含平行邊的一維Laurent多項式曲線有效。”
“如果現在把環麵嵌入推廣到高維仿射空間A,去考察其對應簇在無窮遠處的非緊致分支,比如,我們對原一維Laurent映射做標準的射影齊次緊化,是否有可能通過緊化後除子的相交同調類,來構建某種拓撲障礙,從而給出
局部微分同胚能夠延拓為全局單態射的充要條件?”
“更進一步,這種障礙能不能用來修正一維Laurent像猜想在退化牛頓多邊形情形下的邊界估計?”
漆吳心想我也不是老師啊,不過他還是解釋道:“關於相交同調類和退化牛頓多邊形,我是這樣考慮的,如果僅指望普通的射影齊次緊化,恐怕很難直接抓出全局單態射的拓撲障礙,在一維情況下,Laurent映射的定義域是
一維環麵。”
漆昊一邊寫,一邊用流利的英語和中文交替說著。
“由於它本身具有緊致性,其局部微分同胚天然是有限覆疊映射,一維情形本身不存在無窮遠處的非緊致分支,但一旦推廣並嵌入到A^n_C裡,值域的無窮遠分支對應的則是齊次緊化後引入的無窮遠除子。”
“此時映射延拓的真正阻礙,其實源自原點與無窮遠除子的相交數......”
“正因為一維環麵本身的緊致性,原猜想中並冇有因值域帶來的非緊致分支乾擾,您提到的這個高維推廣,本質上是將值域簇的非緊性作為一種外部擾動,來反推一維退化曲線的邊界行為,這是一個有啟發性的思路,可以作
為接下來推進的重點方向。”
張老師聽得雙眼放光,忍不住直接走上了講台,拿起一根粉筆,在黑板另一側寫下了幾行輔助微分方程。
“對,就是這個除子!”驗證了一會兒後,得到正確答案的張老師激動了起來。
兩人就這麼站在講台前,你一筆一畫,黑板上的公式以極快的速度蔓延,原本要散去的學者們不知不覺間都圍了過來。
經過十幾分鐘的推演,張老師終於停下了手中的粉筆,看著黑板上完美閉環的推導邏輯,眼中全是折服和驚歎。
他轉過頭,不可能相信地問道:“漆吳,你研究雅可比猜想和這個邊界映射,究竟用了多久?”
漆吳謙虛道:“斷斷續續看了一些文獻,真正開始研究,不到一年吧。”
“不到一年。”
張老師聽到這個數字,腦子裡麵亂七八糟的想法化成了一聲苦澀的長歎:“不到一年啊,想當年,我為了雅可比猜想,研究了七年。”
“七年時間,幾乎耗儘了我全部的青春,最後卻無功而返,如今看到你,我真覺得自己當年的七年,有些不值了。”
雖然嘴上說著不值,但張老師的臉上冇有半點嫉妒,反而有種遇上知己的高興。
在這個孤獨的學術之路上,能遇到這樣一個能完美跟上他思路,甚至比他走得更遠的年輕人,無異於在荒漠中遇到了甘泉。
“朝聞道,夕死可矣!”張老師看著漆昊,神色突然變得無比認真,“漆昊,今天真的很高興能遇見你。”
“不知道你平時還研究其他的嗎?”
“PDE,幾何測度論,數論等,我學的比較雜。”漆昊之後還要研究其他猜想,所以提前把相關領域拋出來。
“數論?”
原本坐在一旁,顯得有些局促和落寞的張老師,在聽到這兩個字時,渾濁的眼神裡陡然亮起了一抹異樣的神采,他下意識地直了直身子,將那副舊眼鏡往鼻梁上推了推。
“你有研究過解析數論的問題嗎?”張老師的聲音裡帶著一絲難以掩飾的緊張感。
“實不相瞞,我最近正在研究孿生素數猜想,不知道你對它有冇有什麼不一樣的想法?”
這個卡了人類數學界上百年的終極難題,此時就像一塊沉重的大石,壓在這個已經步入中年的華裔講師心頭,他在新罕布什爾大學拿著微薄的薪水,在主流學術圈的邊緣默默無聞地當著隱形人,幾乎冇有人知道,他的腦子裡
每天都在想這個世界難題。
張老師順手從講台上拿起一根粉筆,他在黑板的一角,自顧自地寫下了經典的GPY篩法公式。
數學界對素數間隔的研究,在2005年由Goldston等三位學者取得了突破性進展,這就是大名鼎鼎的GPY篩法,然而,這個篩法在最後臨門一腳時卡住了,它必須依賴一個尚未被證明的愛略特哈伯斯坦(EH) 猜想。
“我試圖用GPY篩法來尋找突破口,”張老師自嘲地搖了搖頭,“也就是試圖在不依賴EH猜想的前提下,越過那個該死的6=1/2界限。”
“但是,隻要我試著放開GPY篩法中的誤差項,哪怕隻是稍微放鬆一點點,後續的計算就會像雪崩一樣,可如果收緊它,公式的約束又實在太強,根本推導不出任何有界的結果。”
“這幾乎是一個邏輯上的死胡同,不論我從哪個角度切入,最後都會進入這個死胡同。”
漆昊安靜聽著張老師的傾訴,他的目光落在了黑板上的那行GPY公式上。
突然,在他的腦海中,無數曾經看過的數論文獻和理論知識,彙聚到了一起,緊接著他腦中冒出了一個想法。
“張老師,”漆昊盯著那行公式,“問題可能就出在這裡,大家可能都被這個完美的框架給帶偏了。”
張老師一愣,有些茫然地轉過頭:“什麼意思?”
“大夥兒都知道,經典的GPY篩法要求對全部的小模進行嚴格的篩選,這種篩選機製太追求數學上的完美了,所以約束條件非常苛刻。”
“既然你試了那麼多方法走不通,我們為什麼不主動放寬篩的約束,引入一種平滑數截斷策略呢?”
“平滑數截斷?”張老師愣住了。
“對。”漆昊隨手畫了一個網格圖,轉過身用比喻解釋道,“張老師,這就像是在湍急的河流中用漁網捕魚,GPY篩法,其實就是一張眼極其細密的漁網,你既想把所有的魚都撈上來,又試圖把河底所有的細沙碎石都一網打
儘。”
“結果顯而易見,因為網眼太密,水的阻力變得無法想象,整條河的湍流力量全部壓在你的網線上,這就是那些崩潰的誤差項,結果就是,漁網在水流裡被瞬間直接崩斷,最後你不僅連一粒沙子都留不下,連魚也全跑光了。”
張老師盯著那個網格圖,呼吸開始變得有些急促起來。
作為數學家,他的直覺在這一瞬間敏銳地捕捉到了某種可能。
他好像再度有了朝聞道般的頓悟。
漆吳繼續說道:“但如果我們主動把局部的網眼放大呢?也就是說,我們主動弱化篩的精度,不再強求要把所有模的性質都摸得一清二楚,而是將篩選的範圍限製在那些不包含大素因子的平滑數上,那些帶有大素數的大魚和
亂石,我們直接放棄,讓它們漏過去。”
他在網格圖上,將幾個交叉點擦掉,留出了幾個大網眼。
“雖然我們漏掉了一些可能存在的素數對,但因為網眼變大,水流的阻力下降,這也就意味著,整體的誤差項在數學結構上變得絕對可控了,張老師,在孿生素數的證明裡,我們不需要知道每一對素數長什麼樣,我們隻需要
證明,在無窮的數字海洋裡,能穩定撈出哪怕至少兩個素數的數組,這不就足夠打開孿生素數猜想的大門了嗎?”
“主動弱化精度......放大局部網眼......換取整體誤差項可控......”
張老師,整個人在黑板前。
那些他看了千百遍的公式,在這一刻突然像是活了過來。
在解析數論的傳統觀念裡,做篩法的人都在追求更準更細,每個人都在試圖把那張網織得更完美,企圖用更複雜的數學工具去破解。
可漆昊卻反其道而行之。
放棄一部分精度,用平滑數進行截斷,去換取分析上的絕對掌控!
“如果......如果限製在平滑數上......”張老師盯著黑板,感覺自己渾身的血液都在往頭頂湧去,“如果模的素因子都小於某個給定的界限,那麼在對算術級數中的素數進行估計時,那些原本無法處理的複雜相互作用,就會呈現
出某種特殊的平滑性......”
“那我們就可以把這個策略,和BFI關於等差數列中素數分布的經典估計結合起來!”張老師突然說道。
BFI是解析數論大師伊萬尼克等人做出的工作,他曾經無數次翻閱過那些論文,對裡麵的每一個技巧都了如指掌,現在他突然將GPY與BFI以這種方式強行融為一體的想法。
原本BFI的附加條件繁瑣,無法直接套用在GPY的結構上,但現在,有了平滑數截斷作為潤滑劑,原本格格不入的兩個工具,現在可以放在一起使用了!
他在黑板上寫下了重新修正後的權重函數表達式,以及將平滑數分布代入後的融合公式雛形:
[d=D,(d,Q)=1......
“對啊......我以前為什麼非要把所有的沙子都撈起來?!”張老師喃喃自語,“我的目的不是把整條河摸透,我隻需要證明,不管數字多大,它們之間的間隔永遠有界!"
“隻要有界就行!哪怕這個界限是七千萬,哪怕是幾個億!隻要它不是無限大,孿生素數猜想就等於被徹底終結了!”
這一瞬間,張老師像是個瘋子一樣,一把拿過講台上的整盒粉筆。
他甚至來不及擦掉黑板上原本的內容,隻是用袖子狂亂地一抹,便在擦出的空位上,開始推演起來。
“......限製在無平方因子的平滑數集合中,那麼結合指數和估計中的德利涅定理,就可以對那些非齊次克洛斯特曼和進行更精細的控製......對,就是這樣!這裡的餘項可以用克魯斯特曼和的估計來降維!”
張老師的雙手滿是白色的粉筆灰,甚至連他的西裝袖口和臉上都沾了不少,但他根本毫無察覺。
他的眼神明亮得嚇人,那是一種在黑暗的迷宮中摸索了半生,終於在漆昊的引導下,看到出口的微光!
“漆老師......這真的行得通!BFI的機製在這裡能夠用上!”張老師一邊寫,一邊說道。
這一幕,讓台下那些聽得雲裡霧裡的學者和低年級研究生們徹底懵了。
“他們這又是在寫什麼?數論?”
“篩法,平滑數截斷,BFI估計,這是在討論孿生素數猜想嗎?”
“不是吧,他們怎麼又跨越到數論領域了?”
“臥槽,大佬就是大佬,什麼領域都可以討論嗎?”
“要不我們先走吧?隔壁報告廳好像有其他重要的研討要開始了。”有人小聲提議。
就在這時,報告廳側門被推開,一位負責教務協調的工作人員走進來,看到大廳裡麵的人都還冇走,有些為難地提醒道:“不好意思,打擾一下,這個報告廳申請的時間已經到了,下一場關於拓撲學的學術報告馬上就要開始
了,對方的教授和學生已經在外麵等候了......”
“讓他們等一等!”
一個聲音突然打斷了工作人員。
說話的正是裡斯·納什
他神色無比凝重,一雙眼睛盯著黑板上那逐漸成型的推導,嚴肅道:“立刻去協調其他的報告廳,把下一場報告轉移過去,任何責任由係裡承擔,告訴他們,絕對不要進來打擾這裡,因為,我們馬上就要在這裡裡見證曆史和
奇跡了!”
“這樣不好吧,要不請他們移到其他的教室?”工作人員建議道。
“彆廢話,按我說的做!”
工作人員被裡斯嚴肅的樣子嚇了一跳,連連點頭,慌忙退了出去。
裡斯轉過頭,詢問道:“田院士,漆吳和這位張老師他們在研究孿生素數吧?”
田院士此時也正盯著黑板上那一項項被強行解決的誤差項,認真道:“看樣子是的,而且漆吳用一種全新的,前所未有的篩法思路,在引導張老師進行證明。”
裡斯不可思議道:“我原以為他隻是在一維Laurent像和代數幾何方向有天賦,冇想到在數論他居然也有這種驚人的洞察力!”
田院士歎了口氣,眼神有些複雜地看著講台上神色淡然,時不時提筆畫出關鍵修正步驟的漆昊,幽幽地說道:
“其實,從他們剛才的對話來看,漆吳在來之前,顯然並冇有深入研究過孿生素數猜想的具體證明步驟,但他的數論底子極好,他之所以能寫出這些公式不是因為他提前做了準備,而是因為他被張老師激發出了靈感。”
“然後找到了其中的一個關鍵點。”
“現場頓悟?!”裡斯呆住了。
這特麼是什麼神仙悟性?
他突然感覺漆昊的天賦是老天爺追著喂飯吃的那種。
而且,漆昊那樣子,倒像是張老師的導師!
此時,原本要走的人都停下了腳步,不僅如此,消息像是長了翅膀一樣,快速在這裡瘋傳。
“聽說了嗎?一號報告廳出大事了!”
“什麼大事?三點的報告會不是結束了嗎?”
“結束個屁!聽說那個華國的天才現在正和新罕布什爾大學的一個華裔講師,在黑板上現場論證孿生素數猜想!”
“臥槽?!真的假的?!等我,我馬上到!”
普林斯頓,高等研究院。
富爾德大廳的公共休息室裡,幾位教授正慢條斯理地用粉筆在小黑板上比劃著某個推導的細節,就在這時,其中一位教授兜裡的手機忽然震動起來。
他有些不耐煩地接通。
“喂?………………什麼?你確定日=1/2界限被邁過去了?還是在現場一邊交流一邊推出來的?!”
教授手一抖,手上的咖啡潑在了他那條褲子,他連擦都顧不上擦,掛了電話騰地一下站了起來,。
“怎麼了?”旁邊的同僚微微皺眉。
“隔壁普林斯頓一號報告廳,有人在現場證明孿生素數猜想,而且已經把GPY篩法的誤差項給解決了!”
“怎麼可能,是不是打電話的人在惡作劇。”
“不是,你們跟著我一起去看就知道了!”
一時間,原本還算安靜的普林斯頓數學樓熱鬨了起來。
辦公室裡的教授,圖書館裡啃文獻的博士們,聽到風聲後全往一號大報告廳走。
原本寬敞的一號大報告廳,很快被趕來的人群堵得水泄不通。
走廊裡塞滿了聞風而來,禿飛猛進的數學人。
平時眼高過頂的普林斯頓博士們,此刻毫無形象地伸長了脖子,盯著講台上的那塊黑板。
整間報告廳裡裡外外又多了不少人,大家都緊張地注視著台上的兩個人。
而在講台的斜後方,一台高清攝像機儘忠職守地在運轉著。
(圖為張益唐妹妹寫的專欄內容,便於大家理解張益唐的性格,這一行字不算錢)