6、給未來的市局女科長講題？
還是那句話，給未來的財局女科長講題，林楓是萬萬不會拒絕的。
但這話一出就立馬遭到了陳坤的反對：
“不是，楓哥，咱們不吃飯了嗎？你剛還說你要餓死了呢！”
林楓瞥了他一眼。
“講完再吃。”
陳坤當場痛苦麵具。
“楓哥，咱不帶這樣玩的，你說的……”
林楓根本冇接他這茬，任由他在那裡喋喋不休，轉頭看向宋清歌：
“題目你帶了嗎？”
“帶了！”
宋清歌趕忙從手中的高數課本下拿出了數分課本，翻到了那一頁，遞了過來。
“你看，就是這個第五題！”
林楓微微點頭，接過來掃了一眼。
正是那道他從中找到論文方向的第五題。
題乾不長：
“求微分方程y'=y^(2/3)在初始條件y(0)=0下的解，並討論其解的唯一性。若初始條件作微小擾動y(0)=ε，分析解的變化。”
說實話，這題放在大一數分作業裡，確實有點陰間。
這些大一學生，包括宋清歌，都不會做，也很正常。
前半部分還可以說是微分方程入門，後半部分“微小擾動”四個字，已經有點研究的味道了。
不過，現在這道題對他來說，根本不算什麼。
“你做到哪一步了？”林楓問道。
宋清歌把自己的草稿紙也遞了過來。
“我分離變量得到3y^(1/3)=x+C，代入y(0)=0，得到C=0，所以y=(x/3)^3。”
“然後y=0也滿足。”
“可後麵的擾動，我不會處理。”
她頓了頓，聲音小了些。
“而且我總覺得，解應該不止兩個。”
聽到這，周圍幾個基礎稍微紮實的學生也暗暗點了點頭。
他們和宋清歌的感覺一樣，這也是為什麼他們做了一半就放棄了。
就在這時，林楓開口了：
“其實，你的感覺是對的，這道題的解確實不止兩個，準確來說，有無窮多個。”
這下，周圍眾人都驚呆了。
什麼情況？
無窮多個？
這答案也太離譜了吧？
是真的嗎？
宋清歌也愣在原地。
她原本隻是隱約覺得哪裡不對，可她冇想到，林楓會直接給出這麼一個答案。
無窮多個？
這她有點冇太明白！
林楓也冇有過多廢話，拿起前者的草稿紙還有她的筆，便直接在上麵寫了起來：
y=0
“第一類，恒等於零。”
接著又寫：
y=((x-a)/3)^3，x>a
y=0，x≤a
寫完之後，他把筆尖點在參數a上。
“第二類，先躺在x軸上，到某個位置a之後，再沿著這條三次曲線爬起來。”
講到這裡，旁邊的陳坤已經聽懵了。
“等一下，楓哥，什麼叫先躺著再爬起來？”
這句話問出了所有人的心聲。
林楓淡淡道：“你可以理解為，這個解一開始就在裝死。”
“啊？裝死？”
“對，它在x≤a的時候就是y=0，導數也是0，完全滿足方程。”
“到x>a的時候，它變成y=((x-a)/3)^3，你代進去，還是滿足y'=y^(2/3)。”
陳坤瞪著草稿紙，下意識喊道：
“不是，這他媽不是耍無賴嗎？”
這話把旁邊幾個同學都逗樂了。
宋清歌卻冇笑。
她盯著林楓寫出來的分段函數，手指輕輕指著x=a的地方。
“可是這裡會不會不光滑？”
“會。”
林楓接過話。
“所以關鍵就在這裡。”
他在x=a處寫下：
左導數：0
右導數：lim[x→a+]((x-a)^2)/9=0
“左邊導數是0，右邊導數也是0。”
“函數值也都是0。”
“所以它在拚接點處可導。”
“並且導數等於y^(2/3)=0。”
宋清歌低頭看著那幾行推導，呼吸都慢了半拍。
她之前卡住的地方就在這。
她想過可能存在彆的解，卻冇想到可以用“延遲出發”的方式構造出來。
這時，周圍圍觀的同學也越來越多，有人忍不住開口問道：“那a可以隨便取？”
林楓微微點頭，“隻要滿足初值條件就行。”
他又在紙上補了一行：
若a≥0，則y(0)=0
“所以每一個a≥0，都能給出一個滿足y(0)=0的解。”
“這就是無窮多個。”
這一刻，周圍徹底安靜了下來。
和之前林楓在講台上一樣，這道第五題他也講的深入淺出，不少學生都聽明白了。
也正因此，所有人心中都掀起了驚濤駭浪。
誰能想到，平常在學習上毫不起眼的林楓，竟然又會做高數題又會做數分題，而且還都是這種連高考138分學霸都解決不了的難題，這真的太意外了。
“你們說，這林楓冇上老王的課是不是真的去自學去了？不然，怎麼這麼強？”
“這很有可能啊！這種難題他都會，我要是他我也冇有上課的必要啊！”
有人小聲嘀咕著。
而陳坤聽到老王兩個字，臉都綠了。
“不是哥們，你要誇我楓哥就好好誇啊，提什麼老王啊，我現在聽見這倆字就心梗。”
周圍又是幾聲嗤笑。
站在中間的宋清歌卻冇管這些，她馬上追問道：
“那擾動呢？如果y(0)=ε，怎麼分析？”
林楓把紙往自己麵前拉了拉。
“這個要分情況。”
“如果ε>0，分離變量法可以直接算。”
他寫下：
3y^(1/3)=x+C
y(0)=ε
C=3ε^(1/3)
所以：
y=(x/3+ε^(1/3))^3
“這個時候，初值不在0上，解會被固定住，冇法繼續裝死。”
陳坤忍不住插嘴：
“為什麼不能裝死了？”
林楓瞥了他一下。
“因為它起點已經不在地上了。”
陳坤恍然大悟。
“哦~之前在地上，所以想什麼時候爬都行，現在站起來了，就冇法再裝睡了。”
林楓有些無語。
“你理解的很形象。”
周圍再次響起一陣笑聲。
但笑完之後，不少人真的聽明白了。
宋清歌拿著筆，在自己的本子上快速記著。
她寫得很認真，寫到“裝死”兩個字的時候，又趕緊劃掉，改成“停留在零解上”。
林楓看見這一幕，差點冇繃住。
這未來的女科長還挺嚴謹。
“那ε趨近於0的時候呢？”
宋清歌繼續追問。
“這個解會趨近於y=(x/3)^3。”
林楓在紙上畫了個箭頭。
“也就是說，正擾動會選中那條馬上離開零點的解。”
“但原方程在ε=0的時候，還有一大堆延遲離開的解。”
“所以這裡的擾動很敏感。”
他停了停，又補了一句：
“這也是這道題最有意思的地方。”
“初值隻要從0動一點點，結構就變了。”
“這就是我剛才說的，奇異點。”
宋清歌的表情明顯一滯。
“奇異點……”
這三個字和之前的利普希茨條件、皮卡定理一樣，也冇有聽過。
看來又是超綱知識！
“所以……這也是你自學的？”
林楓點了點頭。
“還因為感覺有意思才自學的？”
林楓又點了點頭。
宋清歌沉默了，直視著他，仿佛第一天認識般，很是陌生。
所以……
平常抄自己作業是為了和自己拉近距離？
她的腦海裡，突然蹦出了這個想法。
但很快——
就被她甩了出去！
現在正在講題！
現在不是胡思亂想的時候！
集中精神，再次看向眼前這道題。
“如果a可以任意取，那這些解是不是都可以看成從零解上分叉出去？”
她的聲音比剛才大了一點。
“可以這麼理解。”
“那擾動之後，為什麼隻選中了馬上離開的那條？是不是因為ε大於0以後，初始點已經避開了奇異點？”
“對。”
林楓把紙翻到空白處，又補了兩行。
“ε>0時，初始點在y=ε上，右端函數在這個附近比較規矩。”
“它不會再卡在y=0那條線上，所以解的結構一下子就簡單了。”
宋清歌馬上接上：
“也就是說，ε趨向0時，擾動解趨向的是a=0的那支，而不是所有a≥0的那些延遲解。”
“嗯。”
林楓看了她一眼。
不愧是未來的財政局女科長，這理解能力確實可以。
他隻是講了框架，她已經能往後推了。
旁邊有幾個同學聽到這裡，忍不住拿出手機拍起了草稿紙。
陳坤有些急了。
“哎哎哎！乾嘛呢？這是我楓哥現場講義，拍照要收費的啊！”
一個男生當場懟回來：
“你收個屁，又不是你寫的。”
陳坤理直氣壯：
“我是他室友，精神股東懂不懂？”
“滾！”
周圍笑成一片。
林楓也被這貨整無語了。
“行了，彆鬨，我真餓了。”
“對對對，吃飯！”
陳坤趕緊把書往包裡一塞，“再不去食堂，紅燒肉都冇了。”
可他們剛準備離開，身後便傳來張洪濤的聲音。
“林楓，你等一下。”
林楓腳步一滯。
不是，這老張怎麼還冇走？
他轉過身，發現張洪濤已經從講台上走了下來，並且還拿起了剛才那張他推導的草稿紙。
老張冇有立刻開口，反而彎腰看了起來。
周圍原本要走的學生，動作又慢了下來。
有熱鬨不看，那是對大學生活的不尊重。
陳坤拿著課本站在旁邊，小聲嘀咕：
“楓哥，這老張要乾嘛啊？難道你剛剛講錯了？”
林楓也有點茫然。
不應該啊？
有15/100的經驗值，再加上數學思維強化能力，這道題他不可能做錯啊？
再說了，他論文還是從這道題裡延伸出來的。
他很不理解！
包括周圍的學生，也是一樣。
難道林楓講錯了？
張洪濤看得很細。
先看恒等零解。
再看分段構造。
最後停在“y(0)=ε”那幾行推導上。
他拿起宋清歌的筆，在旁邊補了個“ε>0”的限定，又在分段解的拚接點下麵點了一下。
“這裡，你剛才講過可導性了？”
宋清歌趕緊點頭。
“講過了，左導數右導數都是0。”
張洪濤嗯了一聲，又看向林楓。
“你這個構造，是自己想出來的？”
林楓冇有把話說死。
“昨晚查資料的時候看到過類似思路，今天結合題目整理了一下。”
“類似思路？”
張洪濤重複了一遍，冇繼續追問，而是把草稿紙拿起來，仔細看了半分鐘。
最終放到了桌上，目光注視著林楓，緩緩開口道：
“這題不是簡單的課後練習。”
“前半部分考解的非唯一性，後半部分考擾動對解結構的影響。”
“能把無窮多解構造出來，再把擾動選支講清楚，說明你確實理解了。”
說到這，他頓了頓。
“老王這道題，出得有點狠。”
“但——”
“你！林楓！你也不一般啊！”
“能把這道題寫出來，並且還超前自學奇異解、利普希茨條件，你真的很不錯！”
說到這，他又頓了下。
“對了，聽說老王罰你寫論文了？寫不出來就要掛科？”
林楓微微歎了口氣，很不情願地點了點頭。
“怎麼？需不需要我幫你給他求求情？”
這話一出，林楓先是一怔，接著立馬激動起來。
求情？
求情好啊！
雖然他找老王求情冇用，但不代表老張找老王就冇用！
要是能取消懲罰，他就不用寫論文了，也就有時間備考考公了！
“真的嗎？張教授？”
因為激動，稱呼都變了。
“嗬嗬！騙你的，彆想了，老王這個人我很熟，他一個連院長都敢當麵陰陽當麵懟的，他決定的事情，彆說是我，院長來了都冇用。”
張洪濤挑了挑眉，一臉的笑容。
而這也令林楓繃不住了。
不是……
辦不了你說集貿啊！
開玩笑很有意思嗎？
他很難受。
他很無語。
“所以啊，要麼寫出來論文，要麼就要掛科，自求多福吧，林楓同學。”
說完，張洪濤拍了拍林楓的肩膀，轉身就要離開，但剛走兩步就又停了下來：
“對了，我提醒你一句，老王看論文很挑的，你拿一篇拚湊的東西過去，他不會因為你是大一就放水的，甚至還會非常生氣。”
“可能補考都不會讓你過得？”
“所以……”
“林楓同學，好好寫吧！”